¡Bienvenido al Rincón del Saber Poligonal! En este blog conocerás qué es un polígono, cuándo un polígono es regular o irregular y cuándo es cóncavo o convexo. Además aprenderás sobre la apotema y los ángulos interior, exterior y central de un polígono.
De acuerdo con Leal (2002), un
polígono o polígono de n lados (n mayor o igual a 3) es una figura geométrica
formada por la unión de n segmentos tales que:
(a) Se pueden enumerar en la
forma P1P2, P2P3, ..., Pn−1Pn
y PnP1, con los puntos P1, P2, ...,
Pn−1 y Pn distintos entre sí;
(b) ningún par de ellos
se intersectan, salvo en sus extremos; y
(c) ningún par de ellos con un
extremo común son colineales.
Ejemplos:
Polígono Regular
Un polígono regular es un polígono en el que todos sus lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos interiores comparten la misma medida.
Ejemplos:
Polígono Irregular
Un polígono irregular es un polígono que no es regular, es decir que no se cumple que todos sus lados tengan la misma longitud ni tampoco sus ángulos interiores comparten la misma medida.
Ejemplos:
¡Es momento de practicar!
Ingresando al siguiente enlace podrás realizar una interesante actividad que te ayudará a retroalimentar el tema que has estudiado:
Requena (2016) nos los define como "Los ángulos que forman dos lados contiguos y que esos ángulos
quedan dentro del polígono" (párr. 1). La suma de los ángulos internos del polígono es 180
grados.
En
dichas figuras podemos observar en este caso una “abertura” entre cada par de
lados uno del otro, además cabe recalcar de que al existir polígonos regulares
e irregulares, podemos notar que no necesariamente tener
los mismos lados implica que sus ángulo interiores sean iguales.
¿Cómo se calculan los ángulos internos
de un polígono?
Para
esto nos apoyaremos en un concepto que hay que entender que es la suma de los ángulos interiores. Este
concepto es debido a que cada polígono posee diferentes ángulos dependiendo la
cantidad de lados del mismo y atendiendo a su estructura (regular e irregular), sin embargo, a pesar de dichas diferencias la suma de todos
esos ángulos es la misma y es mediante la siguiente expresión:
S = (n − 2) · 180°
Donde
n es el número de lados del polígono
Ahora
para calcular los ángulos de forma individual simplemente dividimos el
resultado obtenido entre n y ya
obtendremos la medida.
S = [(n − 2) · 180°] ÷ n
No
obstante se tiene que denotar que aunque la formula anterior permite hallar la medida
de los ángulos individualmente, no siempre es posible por lo que se tiene que
brindar cierta información sobre el polígono, en este caso sus ángulos, y hay
que aplicar ciertos procedimientos algebraicos para su solución en algunos
casos, este es el caso de los polígonos irregulares.
Ángulo exterior de un polígono
CK-12
(2012) "Un ángulo exterior es un ángulo que se encuentra fuera de un
polígono. Un ángulo exterior es formado extendiendo un lado del polígono"
(párr. 4). Por otro lado, independientemente del número de lados del mismo, la
suma de sus ángulos exteriores siempre será 360 grados.
Análogamente
al caso de los ángulos interiores importa mucho si es regular e irregular, debido a que sus ángulos pueden variar y dependiendo su forma pueden
medir o no lo mismo.
¿Cómo se calculan los ángulos externos
de un polígono?
Para
esto utilizamos una expresión o razonamiento similar al de los ángulos internos
solamente que estos tienen ciertas diferencias debido al concepto. Para
el caso de los polígonos regulares su expresión para hallar la suma de los ángulos
externos es:
S = 360° ÷ n
En
dicha expresión x es la medida del ángulo exterior y n el número de lados del polígono regular. Para el caso de los
irregulares se necesitarían ciertos datos del polígono para dar una respuesta
adecuada.
Ángulo central
Mendizabal (2017) nos afirma que "Son
los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los
radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un
polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados" (párr. 3).
¿Cómo se calcula el ángulo central de
un polígono?
Análogamente
a los ángulos exteriores estos también se calculan de la misma manera ya que
miden 360 la cantidad de ángulos que se forman alrededor de un punto llamado centro
de igual forma independientemente el número de lados.
S = 360° ÷ n
Apotema
Requena (2014) considera que "La
apotema (AP) de un polígono regular es la distancia de cualquier de sus lados
al centro (C) del polígono. Puede calcularse sabiendo el número de lados (N)
del polígono y lo que mide cada lado (L)" (párr. 3).
¿Cómo calcular la apotema?
Para
esto primero el polígono debe ser regular, de lo cual entonces se
tiene que la apotema de un polígono es:
Recursos extras
En
el siguiente video encontrarás la resolución de problemas aplicando el concepto
de suma de ángulos interiores y exteriores para calcular los ángulos internos y
externos de un polígono regular e irregular, explicando que sucede en cada caso
y la forma de solucionarlo aplicando los conceptos:
En
el siguiente video encontraras ejercicios en los cuales utilizando los
conceptos de suma de ángulos internos y externos se pueda hallar medidas de ángulos
internos y externos de forma individual, además de que aprenderás ciertas
diferencias al momento de aplicarlos:
En
el siguiente video encontraras información pertinente al concepto de apotema y
cómo calcularlo conociendo la medida de uno de los lados:
Actividad para reforzar
En estos enlace encontrarás cuestionarios, en la herramienta Quizziz entrando con tu correo, respecto al tema que hemos tratado y donde aplicarás todos los conceptos que se han desarrollo, algunas de las preguntas son referentes a otros elementos de los polígonos a lo cual te invito a seguir indagando y si no consideras poder responderla puedes dejarla vacía y sólo llenar las del tema en cuestión.
De acuerdo a la medida de los ángulos interiores de un polígono en cada vértice, estos se suelen clasificar en dos tipos:
Los Polígonos Convexos: son aquellos en los que la medida de cada ángulo interno es menor a 180°, por ejemplo los triángulos y cuadriláteros regulares son polígonos de este tipo. Es más, todos los polígonos regulares son convexos, además de otros irregulares como los siguientes que también cumplen serlo:
Los Polígonos Cóncavos: o simplemente no convexos, son aquellos polígonos en los que la medida de por lo menos un ángulo interno es mayor a 180°, y por lo general son de forma irregular, pues es imposible hacer de igual medida los ángulos de un polígono si por lo menos un ángulo a sobrepasado los 180°. Si la afirmación anterior no te convence, te animamos a que lo intentes!!!
Sin embargo, considerando la medida de los ángulos interiores de un polígono, no es la única forma de diferenciar si este es convexo o no. Enunciamos la siguiente proposición sobre polígonos convexos que sugiere 5 caracterizaciones:
Proposición:
Un polígono es convexo si, y sólo si, se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
(a) todos los puntos, que no están en uno de sus lados, están en uno, y sólo uno, de los semiplanos determinados por la recta que contiene ese lado.
(b) ningún par de sus puntos están en lados opuestos de la recta determinada por uno de sus lados.
(c) los únicos puntos del polígono que están en la recta determinada por uno de
sus lados son los puntos de dicho lado.
(d) cada vez que una recta corta al polígono en tres puntos distintos, esos tres puntos están en uno solo de los lados del polígono (y dicha recta es la determinada por ese lado).
(e) todos los vértices, que no están en dos lados consecutivos, están en el interior del ángulo del polígono determinado por esos dos lados.
Lo anterior nos lleva a plantear la siguiente definición de manera más rigurosa:
Un polígono es convexo, si todos los vértices, que no son extremos de uno de sus lados, están en uno, y sólo uno, de los semiplanos determinados por la recta que contiene ese lado.
Un polígono es no convexo, si alguno de los vértices, que no son extremos de uno de sus lados, está en más de uno de los semiplanos determinados por la recta que contiene ese lado.
Otra caracterización la establece el siguiente corolario:
Corolario: Si un polígono es convexo, se tiene que:
(a) la recta determinada por cualquiera de sus diagonales corta al polígono sólo en sus extremos.
(b) ninguno de sus vértices está en el interior del triángulo determinado por un vértice del polígono y sus dos vértices consecutivos.
Es decir, que se puede definir como polígono convexo a aquel cuyas diagonales están todas en el interior del polígono. Entonces, considerando esto; ¿el siguiente polígono sería convexo?
Recursos Extras:
A continuación un video que resume cómo diferenciar polígonos convexos de los cóncavos:
