Polígonos convexos y cóncavos

De acuerdo a la medida de los ángulos interiores de un polígono en cada vértice, estos se suelen clasificar en dos tipos:

• Los Polígonos Convexos: son aquellos en los que la medida de cada ángulo interno es menor a 180°, por ejemplo los triángulos y cuadriláteros regulares son polígonos de este tipo. Es más, todos los polígonos regulares son convexos, además de otros irregulares como los siguientes que también cumplen serlo:

• Los Polígonos Cóncavos: o simplemente no convexos, son aquellos polígonos en los que la medida de por lo menos un ángulo interno es mayor a 180°, y por lo general son de forma irregular, pues es imposible hacer de igual medida los ángulos de un polígono si por lo menos un ángulo a sobrepasado los 180°. Si la afirmación anterior no te convence, te animamos a que lo intentes!!!

Sin embargo, considerando la medida de los ángulos interiores de un polígono, no es la única forma de diferenciar si este es convexo o no. Enunciamos la siguiente proposición sobre polígonos convexos que sugiere 5 caracterizaciones:

Proposición: 

Un polígono es convexo si, y sólo si, se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

(a) todos los puntos, que no están en uno de sus lados, están en uno, y sólo uno, de los semiplanos determinados por la recta que contiene ese lado.

(b) ningún par de sus puntos están en lados opuestos de la recta determinada por uno de sus lados.  

 

(c) los únicos puntos del polígono que están en la recta determinada por uno de

sus lados son los puntos de dicho lado.  

 

(d) cada vez que una recta corta al polígono en tres puntos distintos, esos tres puntos están en uno solo de los lados del polígono (y dicha recta es la determinada por ese lado). 

 

(e) todos los vértices, que no están en dos lados consecutivos, están en el interior del ángulo del polígono determinado por esos dos lados.

Lo anterior nos lleva a plantear la siguiente definición de manera más rigurosa:

Un polígono es convexo, si todos los vértices, que no son extremos de uno de sus lados, están en uno, y sólo uno, de los semiplanos determinados por la recta que contiene ese lado. 

Un polígono es no convexo, si alguno de los vértices, que no son extremos de uno de sus lados, está en más de uno de los semiplanos determinados por la recta que contiene ese lado. 

Otra caracterización la establece el siguiente corolario:

Corolario: Si un polígono es convexo, se tiene que:  

 

(a) la recta determinada por cualquiera de sus diagonales corta al polígono sólo en sus extremos.  

 

(b) ninguno de sus vértices está en el interior del triángulo determinado por un vértice del polígono y sus dos vértices consecutivos. 

Es decir, que se puede definir como polígono convexo a aquel cuyas diagonales están todas en el interior del polígono. Entonces, considerando esto; ¿el siguiente polígono sería convexo?

Recursos Extras:

A continuación un video que resume cómo diferenciar polígonos convexos de los cóncavos:

Practica lo aprendido!

A continuación tienes el siguiente enlace de una actividad evaluativa en Kahoot, con preguntas afines a los contenidos tratados: https://kahoot.it/challenge/05602676?challenge-id=cbc69403-856a-4f3c-9f6f-3e365c9984cc_1633981126777

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